Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 10 см, а радіус вписаного в нього кола - 5√2 см. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.
Ответы
Ответ:Назвемо правильний багатокутник, описаний навколо кола, "зовнішнім", а правильний багатокутник, вписаний у коло, "внутрішнім". Тепер можна використовувати одну формулу для радіуса описаного та вписаного кола правильного багатокутника:
радіус описаного кола R = a/2sin(180°/n)
радіус вписаного кола r = a/2tan(180°/n)
де a - довжина сторони багатокутника, n - кількість його сторінки.
У нашому випадку маємо:
R = 10 см r = 5√2 см
Знайдемо співвідношення між радіусами:
r = R/√2
Підставимо це співвідношення у формулу для радіуса вписаного кола:
5√2 = a/2tan(180°/n)
Також можемо знайти вираз для довжини сторони багатокутника, використовуючи використання між радіусом описаного кола та довжиною сторони:
a = 2Rsin(180°/n)
Підставимо значення радіуса описаного кола:
a = 20sin(180°/n)
Тепер можемо підставити цей вираз у формулу для радіуса вписаного кола та отримати рівень:
5√2 = 20sin(180°/n) / 2tan(180°/n)
Спростимо:
tan(180°/n) = 4/√2 tan(90°/n) = 2/√2 tan(45°/n) = 1/√2 n = 8
Таким чином, правильний багатокутник має 8 сторінок. Знайдемо його довгу сторону, підставивши n у формулу для a:
a = 20sin(22,5°) ≈ 8,66 см
Отже, довжина сторони правильного багатокутника дорівнює близько 8,66 см.
Объяснение: