Question

В какой точке касательная к параболе y = x^2 образует с прямой 3x − y + 1 = 0 угол 45◦?
Напишите подробное решение, пожалуйста

Answer 1

Ответ:Для того, чтобы касательная образовывала угол 45 градусов с данной прямой, нужно, чтобы угловой коэффициент касательной равнялся -1 (так как угол между касательной и прямой равен углу между прямой и её перпендикуляром, а угол между перпендикуляром и прямой, заданной уравнением 3x - y + 1 = 0, равен 45 градусов).

Известно, что уравнение параболы y = x^2 имеет производную y' = 2x, которая даёт наклон (угловой коэффициент) касательной в точке x0:

y' = 2x = -1 => x0 = -1/2

Точка касания касательной с параболой имеет координаты (x0, y0), где

y0 = x0^2 = 1/4

Таким образом, касательная к параболе y = x^2, образующая угол 45 градусов с прямой 3x - y + 1 = 0, проходит через точку (-1/2, 1/4) и имеет угловой коэффициент -1. Уравнение этой касательной можно найти, зная координаты точки и её угловой коэффициент:

y - y0 = k(x - x0)

y - 1/4 = -1(x + 1/2)

y = -x + 3/4

Таким образом, уравнение искомой касательной равно y = -x + 3/4.

Пошаговое объяснение: