Question

СРОЧНО
Висоти тетраедра ABCD, проведені з вершин А і D. перетинаються. Доведіть, що AD 1 BC.
.
Высоты тетраэдра ABCD, произведенные с вершин А и D. пересекаются. Докажите, что AD 1 BC.​

Answer 1

Розглянемо трикутник AHD, де H - перетин висот, проведених з вершин B і C до площини ABC.За теоремою Піфагора для трикутника AHD маємо:

$AH^2 = AD^2 - HD^2$

За теоремою Піфагора для трикутника BHD маємо:

$BH^2 = BD^2 - HD^2$

За теоремою Піфагора для трикутника CHD маємо:

$CH^2 = CD^2 - HD^2$

Додамо отримані рівності і отримаємо:

$AH^2 + BH^2 + CH^2 = AD^2 + BD^2 + CD^2 - 3HD^2$

Але за теоремою Піфагора для трикутника ABC маємо:

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

Отже,

$AB^2 + BC^2 + CA^2 = 2(AD^2 + BD^2 + CD^2)$

Оскільки вершина A лежить на висоті з вершини D, то $AD \perp BC$ і $AD^2 = BD^2 + AB^2$. Аналогічно, з вершини C проведена висота перпендикулярна до площини ABD, тому $CD^2 = BD^2 + BC^2$.

Підставляючи ці рівності в попередню, отримаємо:

$AB^2 + BC^2 + CA^2 = 2(BD^2 + BC^2 + CD^2) = 2(AD^2 + BC^2 + CD^2 - AB^2)$

Звідси:

$AD^2 - AB^2 = BC^2 - CA^2$

$AD^2 - AB^2 = (BC - CA)(BC + CA)$

Але $BC + CA > BC - CA$, тому

$AD^2 - AB^2 > 0$

$AD > AB$

Що й треба було довести.