У банку розміщено 50 000 грн строком на один рік за річною ставкою 18 %, з нарахуванням за схемою складних відсотків. Визначте майбутню вартість, величину отриманого відсотка та ефективну ставку для наступних варіантів нарахування відсотків: а) щомісячно,
б) щоквартально,
в) раз на пів року
Ответы
Відповідь:
а) Щомісячне нарахування відсотків за рік означає, що відсотки нараховуються 12 разів на рік по формулі:
- FV = PV * (1 + r/n)^(nt)
де:
- FV - майбутня вартість
- PV - початкова вартість
- r - річна ставка у десятковому виразі (18% = 0.18)
- n - кількість разів нарахування відсотків на рік (12 разів за рік в цьому випадку)
- t - тривалість вкладу в роках
Підставляємо відомі значення:
- FV = 50 000 * (1 + 0.18/12)^(12*1) = 56 146.53 грн
Отже, майбутня вартість становитиме 56 146.53 грн.
Величина відсотків:
- Відсотки = FV - PV = 56 146.53 - 50 000 = 6 146.53 грн
Отже, величина відсотків становитиме 6 146.53 грн.
Ефективна ставка:
Ефективна ставка (EAR) може бути обчислена за допомогою формули:
- EAR = (1 + r/n)^n - 1
Підставляємо відомі значення:
- EAR = (1 + 0.18/12)^12 - 1 = 0.1956 або 19.56%
Отже, ефективна ставка становитиме 19.56%.
б) Для щоквартального нарахування відсотків, період складає 3 місяці. Тому кількість періодів складання процентів протягом року буде 4 (12 / 3 = 4).
Майбутня вартість розраховується за формулою:
- FV = PV * (1 + r/n)^(n*t)
де:
- PV = 50 000 грн - початкова сума;
- r = 0.18 - річна ставка відсотків;
- n = 4 - кількість періодів складання в році;
- t = 1 - строк розміщення вкладу в роках.
- FV = 50000 * (1 + 0.18/4)^(4*1) = 59 547.28 грн (до копійок)
Отже, майбутня вартість складових відсотків за весь строк складає 59 547.28 - 50 000 = 9 547.28 грн.
Ефективна річна ставка розраховується за формулою:
- APY = (1 + r/n)^n - 1
де:
- r = 0.18 - річна ставка відсотків;
- n = 4 - кількість періодів складання в році.
- APY = (1 + 0.18/4)^4 - 1 = 0.1849 = 18.49 %
Отже, ефективна річна ставка складає 18.49%.
в) За умовами нарахування відсотків раз на пів року річна ставка в 18% буде ділитись на два і нараховуватись двічі на рік з урахуванням попереднього нарахування відсотків, тобто на проміжок між нарахуваннями відсотків буде працювати вже нарахована частка відсотків.
Майбутня вартість розраховується за формулою складних відсотків:
- FV = PV * (1 + r/n)^(n*t),
де:
- PV - початкова вкладка (50 000 грн),
- r - річна ставка (18 %),
- n - кількість нарахувань в році (2),
- t - тривалість депозиту (1 рік).
- FV = 50000 * (1 + 0.18/2)^(2*1) = 59 040 грн.
Отже, майбутня вартість депозиту буде 59 040 грн.
Величина отриманих відсотків буде складати:
- Interest = FV - PV = 59 040 - 50 000 = 9 040 грн.
Отже, величина отриманих відсотків становитиме 9 040 грн.
Ефективна річна ставка може бути обчислена за формулою:
- (1 + r/n)^n - 1,
- де r, n - відповідають за депозитну ставку та нарахування відсотків.
Отже, для варіанту з нарахуванням відсотків раз на пів року:
- (1 + 0.18/2)^2 - 1 = 0.1944 або 19.44 %.
Отже, ефективна річна ставка складає 19,44 %.