4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, основание равно 24
см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник и радиус описанной около этого
треугольника окружности.
Ответы
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC и основание BC = 24 см.
Пусть точка I – центр вписанной окружности, а точка O – центр описанной окружности.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота проведенная из вершины A является биссектрисой и медианой, а также ортогональна стороне BC. Поэтому она делит основание BC на две равные части по 12 см каждая.
Также из равенства боковых сторон AB = AC следует, что угол BAC является прямым углом, поэтому треугольник ABC является прямоугольным. Тогда высота AM также является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB.
Найдем длину боковой стороны MB:
BM = BC / 2 = 12 см
Из теоремы Пифагора:
AM^2 = AB^2 - BM^2
AM^2 = 13^2 - 12^2
AM = √(169 - 144) = √25 = 5 см
Таким образом, радиус вписанной окружности равен равен высоте AM и равен 5 см.
Найдем радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся формулой:
R = AB / (2 sin(BAC))
Угол BAC = 90 градусов, поэтому sin(BAC) = 1.
R = AB / 2 = 13 / 2 = 6.5 см
Ответ: радиус вписанной окружности равен 5 см, радиус описанной окружности равен 6.5 см.