Question

Даю 20 баллов
Розв’яжіть нерівність:
1) |x – 1|(x+ 3) ≥ 0
2) |x – 1|(x+ 3) ≤ 0

Answer 1

Розв'язуємо нерівність |x – 1|(x+ 3) ≥ 0:

Розділяємо випадки залежно від знаку виразу |x – 1|:

якщо x – 1 ≥ 0, тобто x ≥ 1, то |x – 1| = x – 1. Тоді нерівність стає (x – 1)(x+ 3) ≥ 0. Розв'язуємо її за допомогою методу інтервалів знакозмінності:

x | x – 1 | x + 3 | (x – 1)(x + 3)

-∞ - - +

1 0 4 0

3 2 6 +

+∞ + + +

Відповідь: x належить інтервалам (-∞, 1] і [-3, +∞).

якщо x – 1 < 0, тобто x < 1, то |x – 1| = -(x – 1) = 1 – x. Тоді нерівність стає (1 – x)(x+ 3) ≥ 0. Розв'язуємо її аналогічно попередньому випадку і отримуємо таку ж відповідь: x належить інтервалам (-∞, 1] і [-3, +∞).

Отже, розв'язок нерівності |x – 1|(x+ 3) ≥ 0: x належить інтервалам (-∞, 1] і [-3, +∞).

Розв'язуємо нерівність |x – 1|(x+ 3) ≤ 0:

Оскільки модуль може бути не менше нуля, то |x – 1| ≥ 0, а тому нерівність може бути виконана лише тоді, коли (x – 1)(x+ 3) = 0. Тобто x = 1 або x = -3.

Отже, розв'язок нерівності |x – 1|(x+ 3) ≤ 0: x = 1 або x = -3.