Висота, проведена з вершини гострого кута тупокутного трикутника до його основи, утворює з бічними сторонами кути 14° i 38°. Знайдіть кути трикутника.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
Позначимо данний трикутник ABC, де кут A - гострий кут, і AD - висота, опущена з вершини A на основу BC.
За умовою задачі, ми знаємо, що кут ADC = 38° і кут ADB = 14°. Також відомо, що в трикутнику ABC висота AD є бісектрисою кута BAC.
Позначимо кути BAC, ABC і ACB через α, β і γ відповідно. Тоді, знайдемо кути трикутника за допомогою теореми бісектриси:
AD є бісектрисою кута BAC, тому маємо:
BD/DC = AB/AC
За теоремою синусів в трикутнику ABD та ACD, маємо:
BD/AD = sin(α/2)/sin(14°)
DC/AD = sin(α/2)/sin(38°)
AB/AD = sin(β)/sin(14°)
AC/AD = sin(γ)/sin(38°)
Об'єднуємо отримані рівності, отримуємо:
sin(β)/sin(α/2) = sin(14°)/sin(38°)
Звідси маємо:
β = 2arcsin(sin(14°)sin(α/2)/sin(38°))
Знаючи β, ми можемо знайти γ за допомогою теореми косинусів в трикутнику ABC:
cos(γ) = (AB^2 + AC^2 - BC^2)/(2AB*AC)
cos(γ) = (sin^2(β/2) + sin^2(38°) - 2sin(β/2)sin(38°)cos(α/2))/(2sin(β/2)sin(38°))
Знаючи γ, можна знайти α, так як сума кутів трикутника дорівнює 180°.
Таким чином, кути трикутника ABC дорівнюють:
α = 180° - β - γ
β = 2arcsin(sin(14°)sin(α/2)/sin(38°))
cos(γ) = (sin^2(β/2) + sin^2(38°) - 2sin(β/2)sin(38°)cos(α/2))/(2sin(β/2)sin(38°))
де α, β та γ вимірюються в градусах.