Question

Доведіть, що (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) = 2^32 – 1

ДАЮ 40 БАЛЛОВ
нужен полный ответ

Answer 1

Мы можем доказать данное утверждение, используя формулу суммы n-ной степени разности двух чисел:

a^n - b^n = (a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))

В данном случае, мы можем использовать эту формулу для разности квадратов 2^2 - 1 и квадратов 2^4 - 1, 2^8 - 1, 2^16 - 1:

2^2 - 1 = (2-1)(2+1) = 13

2^4 - 1 = (2^2-1)(2^2+1) = 35

2^8 - 1 = (2^4-1)(2^4+1) = 517

2^16 - 1 = (2^8-1)(2^8+1) = 17257

Мы можем заметить, что каждый множитель в левой части выражения является произведением двух чисел вида 2^n и 1, а значит, можно применить формулу разности квадратов для каждого множителя:

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1) = [(2^2)^2-1][(2^4)^2-1][(2^8)^2-1][(2^16)^2-1][(2^32)^2-1]/(2^2-1)/(2^4-1)/(2^8-1)/(2^16-1)

Заметим, что множители 2^2-1, 2^4-1, 2^8-1 и 2^16-1 мы уже вычислили ранее, а (2^32)^2-1 представляет собой разность квадратов 2^64 - 1 и 1:

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1) = [(2^2)^2-1][(2^4)^2-1][(2^8)^2-1][(2^16)^2-1][(2^64)^2-1]/3/5/17/257

=(2^4-1)(2^8-1)(2^16-1)(2^32-1)(2^64+1)/3/5/17/257

Заметим, что мы получили выражение для 2^64+1 в числителе, которое мы можем представить в виде разности квадратов 2^32-1 и 2^32+1:

2^64+1 = (2^32)^2+1^2 = (2^32+1)(2^32-1)

Теперь мы можем подставить это выражение в числитель:

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1) = [(2^2)^2-1