Знайдіть кути прямокутника, що утворені діагоналлюі сторонами, які дорівнюють 2√12 см і 12см.
Ответы
Нехай сторони прямокутника мають довжини a та b, а діагональ має довжину c. Тоді за теоремою Піфагора маємо:
c^2 = a^2 + b^2
Дано, що одна сторона прямокутника дорівнює 12 см, тоді:
c^2 = 12^2 + b^2
c^2 = 144 + b^2
Дано також, що інша сторона має довжину 2√12 см, тобто:
a = 2√12 = 2 × 2√3 = 4√3
Тоді:
c^2 = a^2 + b^2
c^2 = (4√3)^2 + b^2
c^2 = 16×3 + b^2
c^2 = 48 + b^2
Маємо систему двох рівнянь з двома змінними:
c^2 = 144 + b^2
c^2 = 48 + b^2
Розв'язавши її, отримаємо b = 6.
Тоді можна знайти кути прямокутника, що утворені діагоналлю та сторонами, за допомогою тригонометричних функцій:
sin(α) = a/c = 4√3/√(144+36) = 4√3/√180 = 4/3
α = arcsin(4/3) ≈ 53.13°
sin(β) = b/c = 6/√(144+36) = 6/√180 = √5/3
β = arcsin(√5/3) ≈ 37.76°
Отже, кути прямокутника, що утворені діагоналлю та сторонами, дорівнюють приблизно 53.13° та 37.76°.