Question

Доведіть нерівність
x²+4y²+9≥2x²y+3x²+6y​

Answer 1

Для доведення даної нерівності спочатку перенесемо всі терміни з x та y в ліву частину нерівності, а терміни без змінної залишимо справа:
x² - 2x²y + 4y² - 3x² - 6y + 9 ≥ 0

Далі застосуємо техніку доповнення квадрату, додамо та віднімемо вираз (-xy)^2, щоб створити повний квадрат виразу x^2y^2:
x² - 2x²y + x²y² + 4y² - 3x² - 6y + 9 - x²y² ≥ - x²*y²

Згрупуємо перші три терміни, а також останні три терміни:
(x - y²)² + (2y - 3)² + (1 - x²*y²) ≥ 0

Квадрати двох доданків не можуть бути від'ємними, тому перший і другий доданки завжди не менше 0. Третій доданок також не менше 0, оскільки -1 ≤ x²y², а тому 1 - x²y² ≥ 0. Таким чином, ліва частина нерівності завжди не менше 0, що доводить початкову нерівність:

x² + 4y² + 9 ≥ 2x²y + 3x² + 6y.