У паралелограмі ABCD BC=m, кутBAC=а,
Знайдіть діагональ АС паралелограма.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
У паралелограмі ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці O і діляться пополам. Тобто, AO = OC і BO = OD.
За теоремою косинусів в трикутнику АВС, де ∠BAC = а, маємо:
AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos(а)
У паралелограмі ABDC протилежні сторони рівні, тобто AB = CD. Звідси:
AC² = CD² + BC² - 2CD·BC·cos(180°-а)
Але 180°-а = ∠DAC, оскільки AD || BC, тож паралелограм ADCB є вписаним чотирикутником. Отже, за теоремою про кут у вписаному чотирикутнику, ∠DAC = ∠ABC = а.
Підставляючи це значення в останню формулу, отримаємо:
AC² = CD² + BC² - 2CD·BC·cos(а)
Але як було вказано раніше, у паралелограмі AO = OC і BO = OD, тому CD = 2·OD і BC = 2·OB. Підставляючи ці вирази, маємо:
AC² = (2·OD)² + (2·OB)² - 2·2·OD·2·OB·cos(а)
AC² = 4·(OD² + OB² - 2·OD·OB·cos(а))
За теоремою косинусів в трикутнику BOD зі сторонами OB, OD і BD, маємо:
BD² = OB² + OD² - 2·OB·OD·cos(∠BOC)
Але ∠BOC = 180°, оскільки AB || CD і BC || AD, тому cos(∠BOC) = -1, і отримуємо:
BD² = OB² + OD² + 2·OB·OD
З іншого боку, у паралелограмі ABDC протилежні сторони рівні, тобто BD = AC. Підставляючи останнє значення в попередній вираз, маємо:
AC² = 4·(OD² + OB² - 2·OD·OB·cos(а))
AC² = 4·BD²
Отже, діагональ паралелограма АС дорівнює:
AC = 2·BD = 2·sqrt(OD² + OB² - 2·OD·OB·cos(а))