Висота зрізаного конуса = 10√3 см, а твірна утворює з площиною більшої основи кут 60. Діагональ осьового перерізу конуса = 4√31 см.
1) Знайдіть твірну цього конуса.
2) Знайдіть площу бічної поверхні цього конуса.
Ответы
1.Позначимо твірну зрізаного конуса як s, радіуси основи як R1 та R2, висоту більшої основи як H, а діагональ осьового перерізу як D. Тоді за теоремою Піфагора для трикутника, утвореного твірною, радіусом та діагоналлю осьового перерізу, маємо:
s^2 = R1^2 + R2^2
Також з трикутника, утвореного висотою, півосновою та твірною, можемо записати наступну рівність:
s = sqrt(3)/2 * R1
Таким чином, можемо виразити радіус R1 через s:
R1 = 2s/sqrt(3)
Далі, знаємо, що висота більшої основи дорівнює 10√3, тобто H = 10√3. За теоремою Піфагора для трикутника, утвореного висотою, радіусом та твірною, маємо:
H^2 = R1^2 + s^2
Підставляючи вираз для R1, отримуємо:
(10√3)^2 = (2s/sqrt(3))^2 + s^2
Розв'язуючи це рівняння відносно s, маємо:
s = 10√3/3
Тому твірна зрізаного конуса дорівнює 10√3/3.
2Площу бічної поверхні конуса можна знайти за формулою:
S = π(R1 + R2)l
де l - генератриса, яка може бути знайдена за теоремою Піфагора для трикутника, утвореного висотою, півосновою та генератрисою:
l^2 = H^2 + (R1 - R2)^2
Підставляючи відомі значення, маємо:
l^2 = (10√3)^2 + (R1 - R2)^2
l = sqrt((10√3)^2 + (R1 - R2)^2)
За теоремою Піфагора для трикутника, утвореного твірною, радіусом та діагоналлю осьового перерізу, маємо:
D^2 = s