Question

На прямій x=-5 знайти точку, рівновіддалену від лівої і “верхньої" вершини еліпса x^2+5y^2=20 .

Answer 1

Еліпс з рівнянням x^2+5y^2=20 має центр у точці (0, 0) і півосі довжини 2 та √4 = 2√2.

Точка, рівновіддалена від лівої та "верхньої" вершин еліпса, лежить на прямій, що проходить через центр еліпса та перпендикулярна до відрізка, який з'єднує ліву та верхню вершини.

Координати лівої вершини еліпса: (-2, 0).

Координати верхньої вершини еліпса: (0, √4/5) = (0, 2/√5).

Кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через центр еліпса і точку (-2, 0), є відношенням різниці координат до їх добутку:

m = (0 - 0) / (-2 - 0) = 0

Це означає, що пряма є вертикальною та проходить через точку (-5, y), де y - координата точки, яку ми шукаємо.

Для того, щоб точка була рівновіддаленою від лівої та верхньої вершин еліпса, відстань від неї до центру еліпса має бути рівна півосі довжини.

Відстань від точки (-5, y) до центру (0, 0) є √((0 - (-5))^2 + (0 - y)^2) = √(25 + y^2).

Отже, потрібно знайти розв'язок рівняння:

√(25 + y^2) = 2√2

Після піднесення обох частин рівняння до квадрата та спрощення, отримаємо:

y^2 = 11

Розв'язки цього рівняння: y = √11 або y = -√11.

Так як точка має бути на прямій x = -5, то координата x точки -5.

Отже, шукана точка: (-5, √11) або (-5, -√11).