Question

допоможіть а то мені капець 1. В площині в знаходиться фігура, з точки М до вершини С даної фігури проведено похилу, вершина якої збігається з вершиною В. Знайти кут між похилою та проекцією даної фігури. Фігура: прямокутник сторони якого відносять як 1 до 2-х, а периметр 24. 2. 3 точки на площину кола до його центру проведено перпендикуляр який рівний діаметру. Знайдіть кут між радіусом та похилою яка проведена до кола. Якщо: Умова: Коло вписане в квадрат зі стороною 10√2. 3. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а та b, а бічна сторона - с Знайдіть площу проекції даної трапеції на площину, якщо кут між площиною трапеції та заданою площиною рівний значенню а. Умова: між площиною та похилою МА, якщо кут DAM =30, MА =5, MВ = 10​

Answer 1

Відповідь:

1). кут між похилою та проекцією дорівнює 90° - α.

2). кут між радіусом та похилою, яка проведена до кола, дорівнює 126.87 градусів.

3). cos(30) = √3/2

Покрокове пояснення:

1). Спочатку знайдемо довжини сторін прямокутника. Позначимо довшу сторону як 2x, а коротшу - як x. Тоді ми знаємо, що периметр прямокутника дорівнює 24, тому:

2(2x + x) = 24

6x = 24

x = 4

Таким чином, довша сторона прямокутника дорівнює 8, а коротша - 4.

Тепер побудуємо похилу з точки М до вершини С. Оскільки вершина С збігається з вершиною В, то похила і проекція на протилежну сторону прямокутника утворюють прямий кут. Тому, щоб знайти кут між похилою та проекцією, достатньо знайти кут між похилою та горизонтальною осі.

Позначимо кут між похилою та горизонтальною осі як α. За теоремою Піфагора для трикутника МСВ:

MV² = MS² + SV²

SV = ВС = 8

MS = ВМ - МС = x√5 - x = x(√5 - 1)

MV = √(MS² + SV²) = √((x(√5 - 1))² + 8²)

MV = √(5x² - 2x√5 + 1 + 64)

MV = √(5x² + 62 - 2x√5)

Тоді тангенс кута α дорівнює протилежному катету (MS) поділеному на прилеглий катет (SV):

tan α = MS / SV = x(√5 - 1) / 8

Отже, кут між похилою та проекцією дорівнює 90° - α.

2). Позначимо центр кола як O, радіус як r і діаметр як d. Оскільки перпендикуляри проведені від трьох точок кола до центра і рівні діаметру, то кожний з цих перпендикулярів є радіусом кола. Отже, ми маємо рівності:

OA = OB = OC = r

AB = BC = AC = d

Також за умовою, ми знаємо, що коло вписане в квадрат зі стороною 10√2, тобто діаметр кола дорівнює стороні квадрата: d = 10√2. Звідси ми можемо знайти радіус:

r = d/2 = 5√2

Тепер розглянемо трикутник AOB, у якому ми шукаємо кут між радіусом OA та похилою AB. Застосуємо теорему косинусів до цього трикутника:

cos(∠AOB) = (OA² + OB² - AB²) / (2OA*OB)

cos(∠AOB) = (r² + r² - d²) / (2r*r)

cos(∠AOB) = (2r² - d²) / (2r²)

Підставляючи значення r та d, ми отримуємо:

cos(∠AOB) = (2*(5√2)² - (10√2)²) / (2*(5√2)²)

cos(∠AOB) = -3/5

Таким чином, ми знаємо, що cos(∠AOB) = -3/5, і ми можемо використати обернену функцію косинуса, щоб знайти кут ∠AOB:

∠AOB = arccos(-3/5) ≈ 126.87 градусів

Отже, кут між радіусом та похилою, яка проведена до кола, дорівнює 126.87 градусів.

3). Для того, щоб знайти площу проекції трапеції на площину, необхідно спочатку знайти проекцію кожної сторони трапеції на цю площину. З цією метою побудуємо проекцію точки D на площину, яка проходить через сторону а та точку М.

За властивостями рівнобедреної трапеції, точка М знаходиться на середині основи трапеції, тому довжина основ МВ дорівнює сумі довжин основ трапеції, поділеній на 2:

МВ = (a + b)/2

Позначимо точку, в якій проекція МА перетинає площину, яка містить сторону а та точку М, як точку Е. Тоді, також за властивостями рівнобедреної трапеції, висота трапеції з точки D ділить основи трапеції навпіл, тобто:

DE = (a - b)/2

Звідси можна знайти координати точки D, використовуючи трикутник ЕDM:

DM/DE = tan(α)

де α = 30 градусів - кут між площиною трапеції та заданою площиною, а DM = 5, DE = (a - b)/2.

Таким чином, DM = 5, DE = (a - b)/2, і

tan(α) = DM/DE = 5/(a - b)/2

тобто

(a - b)/10 = 1/tan(α) = √3

звідки

a - b = 10√3

Тепер, знаючи координати всіх вершин трапеції, можна побудувати її проекцію на площину, паралельну до площини трапеції, і знайти її площу. Це можна зробити, наприклад, за допомогою векторних операцій.

Проте, якщо вважати, що площа проекції трапеції на площину дорівнює площі трапеції, проекція якої є плоскою фігурою, то площу проекції трапеції можна знайти як добуток площі трапеції на косинус кута між нормалями до площин трапеції та її проекції.

Кут між нормалями до площин трапеції та її проекції дорівнює куту між площиною трапеції та заданою площиною, тобто α = 30 градусів.

Знайдемо нормалі до площин трапеції та її проекції. Нормаль до площини трапеції напрямлена вздовж бічної сторони і дорівнює векторному добутку векторів AB та AD, де A і D - вершини трапеції, а B - точка перетину діагоналей.

AB = (0, b, 0) - (0, 0, 0) = (0, b, 0)

AD = (a/2, 0, c) - (0, 0, 0) = (a/2, 0, c)

AB x AD = (bc, ac/2, -ab/2)

Нормаль до проекції трапеції також напрямлена вздовж бічної сторони, але має нульову компоненту по осі y:

AB' = (0, b, 0)

AD' = (a/2, 0, 0)

AB' x AD' = (0, 0, -a*b/2)

Косинус кута між нормалями дорівнює добутку їхніх координат, поділеному на добуток їхніх модулів:

cos(α) = (AB x AD) * (AB' x AD') / (|AB x AD| * |AB' x AD'|)

|AB x AD| = √(b^2c^2 + (ac/2)^2 + (-ab/2)^2) = √(a^2b^2/4 + b^2c^2 + a^2c^2/4)

|AB' x AD'| = √((-ab/2)^2) = ab/2

cos(α) = (bc * (-ab/2)) / (√(a^2b^2/4 + b^2c^2 + a^2c^2/4) * (a*b/2))

Підставляючи a = b та знаходячи значення cos(α), отримуємо:

cos(30) = √3/2