Серединний перпендикуляр гіпотенузи АВ прямокутного трикутника АВС перетинає катет
АС у точці М. Відомо, що АМ = 2МС. Знайдіть гострі кути трикутника АВС.
Ответы
Ответ:
Позначимо середину гіпотенузи як D, тоді за властивостями прямокутного трикутника:
AD = BD = CD.
Оскільки M лежить на серединному перпендикулярі AB, то AM = BM, тоді
AC = AM + MC = BM + MC = BC,
отже, трикутник ABC є рівнобедреним, тому він може бути тільки рівностороннім або гострокутним.
Якщо трикутник ABC рівносторонній, то кожен його кут дорівнює 60 градусів.
Припустимо, що трикутник ABC гострокутний. Оскільки AM = 2MC, то
AM = AC / 3 і MC = AC / 6.
Позначимо кути трикутника ABC через α, β і γ. Оскільки трикутник ABC є гострокутним, то кут α є гострим, тобто sin(α) > 0.
Розглянемо прямокутний трикутник AMD:
sin(α) = AM / AD = AM / (AC / 2) = 2AM / AC = 2MC / AC = sin(γ),
отже, α = γ.
Розглянемо тепер прямокутний трикутник BMD:
sin(β) = BM / BD = BM / (AC / 2) = AM / AC = 1 / 3,
оскільки AM = BM і AC = 3AM.
Отже, β = arcsin(1/3) ≈ 19.47 градусів.
Отримали, що α = γ і β < 90 градусів, тому можливі наступні варіанти гострих кутів трикутника ABC:
α = 80.53 градусів, β = 19.47 градусів, γ = 80.53 градусів;
α = 45 градусів, β = arcsin(1/3) ≈ 19.47 градусів, γ = 45 градусів.