В трикутнику ABC, де A(3; -1), B(-1; -2), C(1; -4), скласти рівняння висоти АN та медіани АM.
Ответы
Спочатку знайдемо координати точки АМ (середина сторони BC).
x координата точки АМ = (xB + xC)/2 = (-1 + 1)/2 = 0
y координата точки АМ = (yB + yC)/2 = (-2 - 4)/2 = -3
Тож АМ проходить через точку М(0, -3).
Тепер знайдемо рівняння висоти АN, яка проходить через точку А(3,-1) та перпендикулярна до сторони BC.
Коефіцієнт напрямку сторони BC:
m_BC = (yC - yB)/(xC - xB) = (-4 + (-2))/(1 - (-1)) = -1
Коефіцієнт напрямку висоти АN:
m_AN = 1/m_BC = -1/(-1) = 1
Тож рівняння прямої АN має вигляд y - yA = m_AN(x - xA), або
y + x - 2 = 0 (після підстановки значень координат точки А)
Отже, рівняння висоти АN: y + x - 2 = 0.
Нарешті, знайдемо координати точки АN, яка перетинає сторону BC в точці Н. Так як АN є перпендикулярною до BC, то Н лежить на прямій BC.
Коефіцієнт напрямку сторони BC:
m_BC = (yC - yB)/(xC - xB) = (-4 + (-2))/(1 - (-1)) = -1
Рівняння прямої BC має вигляд y - yB = m_BC(x - xB), або
y + x + 1 = 0 (після підстановки значень координат точок B та C)
Точка Н перетинається з прямою АN, тому можемо розв'язати систему рівнянь
y + x - 2 = 0
y + x + 1 = 0
Отримаємо координати точки Н:
y = 1/2, x = -5/2
Тож координати точки Н: Н(-5/2, 1/2)
Рівняння медіани АМ має вигляд y = -1/2x - 3/2 (загальна форма рівняння прямої, де коефіцієнт перед x є коефіцієнтом напрямку прямої, а вільний член - точкою перетину з осою y).