СРОЧНО!!! ДАЮ 20Балов!!!!Висота прямокутного трикутника,проведина до гіпотенузи,ділить її на відрізки завдовжки 10см і 40 см. Знайдіть довжини сторін трикутника.
Ответы
Позначимо сторони прямокутного трикутника як a, b та c, де c є гіпотенузою.
За теоремою Піфагора маємо:
c^2 = a^2 + b^2
Позначимо висоту, проведену до гіпотенузи як h. За умовою, ми знаємо, що вона ділить гіпотенузу на два відрізки завдовжки 10 см та 40 см. Тому ми можемо записати:
c = 10 + 40 = 50
Також ми знаємо, що висота ділить гіпотенузу на дві частини в пропорції 1:4. Це означає, що:
a = 4h
b = h
Ми також можемо використати формулу для площі трикутника:
S = 1/2 * a * b
Оскільки ми знаємо, що висота h ділить гіпотенузу на два відрізки в пропорції 1:4, то площа трикутника може бути обчислена як:
S = 1/2 * 4h * h = 2h^2
З іншого боку, за теоремою Піфагора, ми маємо:
h^2 + (10)^2 = a^2
h^2 + (40)^2 = b^2
Підставляючи вирази для a та b в формулу для площі, отримуємо:
S = 1/2 * 4h * h = 2h^2 = 1/2 * (h^2 + (10)^2) * 1/2 * (h^2 + (40)^2)
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
2h^2 = 1/2 * (h^4 + 50h^2 + 500)
Переносимо все на один бік:
h^4 - 96h^2 - 1000 = 0
Ми можемо розв'язати це рівняння, використовуючи заміну змінної. Позначимо h^2 як x, тоді:
x^2 - 96x - 1000 = 0
Розв'язуємо квадратне рівняння:
x = (96 ± √(96^2 + 4000))/2 = 48 ± √2604
Тому маємо два значення для h^2: x1 = 48 + √260