Три числа складають арифметичну прогресію. Відомо, що їх сума дорівнює 12. Якщо перше число збільшити на 1, друге на 2, а трете на 11, то отримаємо геометричну прогресію. Знайти найбільше значення першого числа.
пожалуйста помогите!!!
Ответы
Відповідь:
Позначимо перше число а якщо третє число у, то друге число буде (а+у)/2, оскільки три числа утворюють арифметичну прогресію.
Тоді за умовою задачі, маємо:
а + (а+у)/2 + у = 12 --- (1)
Також згідно умови задачі, якщо додати до першого числа 1, до другого 2 та до третього 11, отримаємо геометричну прогресію. За формулами геометричної прогресії:
(а+1) / а = (а+у+2) / (а+у) = (а+u+11) / (а+2u) = r,
де r - знаменник геометричної прогресії.
Тоді ми можемо знайти коефіцієнт р:
r = (а+1) / а = (а+у+2) / (а+у) => а + у + 2 = r * (а + у),
r = (а+u+11) / (а+2u)
Помножимо дві останні рівності разом, щоб виразити у через а:
(а+u+2)(а+2u) = (а+1)(а+u+11)
Розв'язавши це рівняння, знайдемо u:
u = 6a / 5
Підставимо u у рівняння (1) і отримаємо:
а + (а+6a/5)/2 + 6a/5 = 12
Розв'язавши це рівняння відносно а, знайдемо:
а = 20/3
Отже, найбільше значення першого числа дорівнює 20/3.