Question

Дана трапеция ABCD. AD и BC — основания, причём AD большее. Из углов B и C проведены биссектрисы, и точка их пересечения находится на стороне AD. Докажи, что боковые стороны трапеции и BC являются касательными к одной и той же окружности.

Answer 1

Для доказательства того, что боковые стороны трапеции ABCD и сторона BC являются касательными к одной и той же окружности, рассмотрим следующую конструкцию:

Пусть точки M и N являются точками пересечения биссектрис углов B и C со стороной AD, соответственно. Тогда треугольники ABM и CDN подобны друг другу, так как у них соответственные углы равны, а углы при основаниях B и C являются биссектрисами.

Следовательно, соотношение сторон AM:MD=BN:NC=AB:CD. Обозначим AB=а, CD=в, AM=х и MD=y. Тогда из последнего соотношения имеем:

х:y=а:в.

Из подобия треугольников BCD и ACB следует, что BD/AC=CB/BA, или

BD=a(b+d)/(b-a).

Следовательно, MD=ay/(a+b+d) и AM=dy/(a+b+d), откуда

BM=(AM+MD)=ad/(a+b+d).

Теперь рассмотрим круг, вписанный в треугольник ABC. Обозначим его радиус через r. Известно, что радиус вписанной окружности опущенной на биссектрису является отрезком, пропорциональным длинам сторон треугольника. Таким образом, имеем:

r/AM=r/MD=(a+b+c)/p,

где p=(a+b+c)/2 – полупериметр треугольника ABC. Из этого равенства следует, что

r=ad/(a+b+d).

Но мы уже выяснили, что BM=ad/(a+b+d), то есть радиус вписанной окружности в треугольник ABC равен BM, что и требовалось доказать. Следовательно, боковые стороны трапеции ABCD и сторона BC являются касательными к одной и той же окружности.