Question

Cos 6 B+ cos 4 B / sin 6 B- sin4 B=ctg B
B- это бета

Answer 1

Ответ:Дано:

cos(6β) + cos(4β)

------------------- = ctg(β)

sin(6β) - sin(4β)

За допомогою тригонометричних формул скористаємося співвідношеннями для додавання і віднімання косинусів та синусів:

cos(6β) + cos(4β) = 2cos(5β)cos(β)

sin(6β) - sin(4β) = 2cos(5β)sin(β)

Підставимо ці співвідношення в вихідне рівняння:

2cos(5β)cos(β)

------------------ = ctg(β)

2cos(5β)sin(β)

Скоротимо спільний множник 2 та домножимо обидві сторони на sin(β):

cos(5β)

-------- = cos(β)

sin(β)

Застосуємо формулу для ctg(β):

ctg(β) = cos(β) / sin(β)

Тоді отримаємо:

cos(5β) cos(β)

-------- = ------

sin(β) sin(β)

Объяснение:Це співвідношення є ідентичністю, оскільки обидві сторони мають однакові значення. Отже, вихідне рівняння справджується для будь-якого значення β.

Answer 2

Ответ:

Для доведення рівності використаємо тригонометричні тотожності:

ctg(B) = cos(B)/sin(B)

sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB

sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB

Застосуємо тотожності (2) та (3) до знаменника:

sin(6B - 4B) = sin2(2B) = 2*sin(2B)cos(2B)

sin(6B + 4B) = sin2(5B) = 2sin(5B)*cos(5B)

Тоді задане рівняння можна переписати у вигляді:

cos(6B) + cos(4B)

----------------- = cos(B)

sin(6B) - sin(4B)

Розділимо чисельник і знаменник на cos(2B):

cos(6B)/cos(2B) + cos(4B)/cos(2B)

--------------------------------- = cos(B)/(sin(B)*cos(2B))

Використовуючи тотожність (1), перепишемо праву частину:

cos(B)/(sin(B)*cos(2B)) = ctg(B)/2

Підставимо це у попереднє рівняння:

cos(6B)/cos(2B) + cos(4B)/cos(2B)

--------------------------------- = ctg(B)/2

Зведемо чисельник до спільного знаменника:

cos(6B)*cos(4B) + cos(4B)*cos(2B)

--------------------------------- = ctg(B)/2 * cos(2B) * (sin(6B) - sin(4B))

Скористаємось тотожністю (2) знову:

2*cos(4B)cos(2B) = 2cos(6B)*sin(2B)

Підставимо це у попереднє рівняння:

cos(6B)*cos(4B) + cos(4B)cos(2B)

--------------------------------- = ctg(B)/2 * cos(2B) * (sin(6B) - sin(4B))

cos(4B) * (cos(6B) + cos(2B))

---------------------------- = ctg(B)/2 * cos(2B) * (2sin(2B)*cos(6B))

cos(4B) * (cos(6B) + cos(2B))

---------------------------- = ctg(B) * sin(2B) * cos(6B)

Залишається переписати це рівняння в термінах ctg(B) та застосувати тотожність (1):

ctg(B) = cos(4B)(cos(6B) + cos(2B))/(sin(2B)(sin(6B) - sin(4B)))

Таким чином, ми довели задану рівність