Діагоналі рівнобічної трапеції діляться точкою перетину у відношенні 1:4. Знайти периметр трапеції, якщо його бічна сторона і висота дорівнюють відповідно 20 см і 16 см.
СРОЧНО!!!
Ответы
Відповідь:Позначимо вершини рівнобічної трапеції ABCD, де AB || CD і AB = CD, і точку перетину її діагоналей - точку O. Нехай точка O ділить діагональ AC відповідно до заданого відношення 1:4, тоді OA:OC = 1:4.
Знайдемо довжину діагоналі AC за теоремою Піфагора:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(OA+OC)^2 + BC^2} = \sqrt{(4OA+OA)^2 + BC^2} = \sqrt{17OA^2 + BC^2}$
Знайдемо висоту трапеції h за теоремою Піфагора:
$h = \sqrt{AB^2 - (\frac{CD-AB}{2})^2} = \sqrt{AB^2 - (\frac{3OA}{2})^2} = \sqrt{\frac{7}{4}OA^2}$
Периметр трапеції складається з суми довжин бічних сторін і діагоналей, тому
$P = AB + CD + AC + BD = 2AB + AC + BD = 2AB + 2\sqrt{17OA^2 + BC^2}$
Залишилося знайти довжину BC, яку можна знайти з підобранням підходящих значень, або скористатися властивістю рівнобічної трапеції, що основи трапеції є середніми лінії в трикутнику AOC. Тоді BC = 2AB, тому
$P = 2AB + 2\sqrt{17OA^2 + 4AB^2}$
Залишається знайти довжину OA, яку можна знайти з відношення діагоналей, оскільки OA:OC = 1:4, тому OA = AC/5. Підставимо значення у формулу для периметра трапеції:
$P = 2AB + 2\sqrt{17(\frac{AC}{5})^2 + 4AB^2} = 2 \cdot 20 + 2\sqrt{17(\frac{16}{5})^2 + 4 \cdot 20^2} \approx 109.4$
Отже, периметр рівнобічної трапеції дорівнює близько 109.4 см.
Пояснення: