Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями:
y=-x2+6x-2 i y=x2-2x+4

Answer 1

Ответ:

Спочатку знайдемо точку перетину через рівняння

y = -x^2 + 6x - 2

y = x^2 - 2x + 4

x^2 - 2x + 4 = -x^2 + 6x - 2

2x^2 - 8x + 6 = 0

x^2 - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

Точки перетину ліній: x = 1 та x = 3.

Підставимо ці значення x в одне з рівнянь, щоб знайти відповідні значення y:

Для x = 1: y = -1^2 + 6(1) - 2 = 3

Для x = 3: y = -3^2 + 6(3) - 2 = 10

Тож фігура обмежена графіками квадратичних функцій та віссю OX знаходиться між точками (1, 3) та (3, 10).

Щоб знайти площу фігури, можна скористатися формулою інтегралу площі:

S = ∫[a,b] |f(x) - g(x)| dx,

де f(x) та g(x) - функції, які обмежують фігуру зверху та знизу відповідно, a та b - координати точок перетину функцій.

У нашому випадку, f(x) = x^2 - 2x + 4, g(x) = -x^2 + 6x - 2, a = 1, b = 3.

Тож

S = ∫[1,3] |(x^2 - 2x + 4) - (-x^2 + 6x - 2)| dx

= ∫[1,3] (2x^2 - 4x + 6) dx

= [2/3 x^3 - 2x^2 + 6x]₁ˣ₌₁₎₎²

= (2/3 * 3^3 - 23^2 + 63) - (2/3 * 1^3 - 21^2 + 61)

= 20/3

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y=-x^2+6x-2 та y=x^2-2x+4, дорівнює 20/3 квадратних одиниць.

Объяснение: