Ортогональною проекцією прямокутника, сторони якого 8 см і 9 см, є чотирикутник, площа якого дорівнює 36 см2. Обчисліть кут між площинами цих чотирикутників. Чи може дана проекція бути квадратом ?
Ответы
Объяснение:
Позначимо сторони прямокутника як a = 8 см і b = 9 см. Нехай ABCD - це прямокутник, а EFGH - його ортогональна проекція. Нам потрібно знайти кут між площинами прямокутника і його проекції.
Оскільки площа чотирикутника EFGH дорівнює 36 см2, ми знаємо, що площа прямокутника ABCD дорівнює 8*9=72 см2.
Розглянемо трикутник ECF, який є прямокутним, оскільки EC - перпендикуляр до площини ABCD, а EF - перпендикуляр до площини, яку проходить через CD і паралельна BC. З іншого боку, CF - перпендикуляр до площини, яку проходить через AB і паралельна BC. Тому кут ECF є кутом між площинами ABCD і EFGH.
Знайдемо довжину сторони EF чотирикутника EFGH. Оскільки EFGH - проекція прямокутника ABCD на площину EFGH, сторона EF дорівнює довжині відрізка, який з'єднує середини сторін AB і CD прямокутника ABCD. Оскільки AB і CD перпендикулярні, то середини цих сторін також перетинаються перпендикулярно. Тому EF ділить прямокутник ABCD на дві однакові частини. Отже, EF дорівнює половині діагоналі прямокутника ABCD.
За теоремою Піфагора, діагональ прямокутника ABCD дорівнює √(8^2 + 9^2) = √145 см, тому половина діагоналі дорівнює (1/2)√145 см. Таким чином, сторона EF чотирикутника EFGH дорівнює (1/2)√145 см.
Тепер ми можемо знайти косинус кута ECF, використовуючи відношення катета до гіпотенузи в трикутнику ECF:
cos(ECF) = CF/EF = 9/((1/2)√145) = (18/√145)