диагональ равнобедренной трапеции равна 3√13 и перпендикулярна боковой стороне. Разность оснований равна 8. Найдите площадь трапеции.
Ответы
Відповідь:Пусть основания равнобедренной трапеции имеют длины a и b, где a > b. По условию, разность оснований равна 8, то есть a - b = 8.
Пусть h - высота трапеции, тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a/2 и h имеем:
(a/2)^2 + h^2 = (3√13)^2
a^2/4 + h^2 = 117
Также по условию диагональ трапеции равна 3√13 и перпендикулярна боковой стороне, то есть является высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором диагональ является гипотенузой, а основания a и b - катетами:
(3√13)^2 = (a/2)^2 + h^2 + b^2
27*13 = a^2/4 + h^2 + b^2
Используя выражение для a - b из первого уравнения, получим:
b = a - 8
Тогда:
a^2 + b^2 = (a - 8)^2 + a^2 = 2a^2 - 16a + 64
Выражаем h^2 из уравнения (a^2/4 + h^2 = 117):
h^2 = 117 - a^2/4
Тогда:
27*13 = 2a^2 - 16a + 64 + 117 - a^2/4
162 = 7a^2 - 64a + 499
7a^2 - 64a + 337 = 0
Решая квадратное уравнение, получим:
a = (64 ± √(64^2 - 47337))/(2*7) ≈ 16.75 или ≈ 6.26
Так как a > b, то a ≈ 16.75 и b ≈ 8.75.
Площадь трапеции равна:
S = (a + b)h/2 = (16.75 + 8.75)√(117 - 16.75^2/4) / 2 ≈ 92.64
Ответ: площадь трапеции примерно равна 92.64