Question

f(x) = sin x - tgx
Найдите третью производную пожалуйста

Answer 1

Основные формулы и правила дифференцирования:

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(\mathrm{tg}\, x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)} \right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Рассмотрим функцию:

$f(x) = \sin x - \mathrm{tg}\, x$

Находим первую производную:

$f'(x) = (\sin x - \mathrm{tg}\, x)'= (\sin x)' - (\mathrm{tg}\, x)'=\cos x - \dfrac{1}{\cos^2x}$

Находим вторую производную:

$f''(x) = \left(\cos x - \dfrac{1}{\cos^2x}\right)'= (\cos x)' - \left(\dfrac{1}{\cos^2x}\right)'=$

$=-\sin x - \dfrac{1'\cdot \cos^2x-1\cdot(\cos^2x)'}{(\cos^2x)^2} =-\sin x - \dfrac{0\cdot \cos^2x-2\cos x\cdot(\cos x)'}{\cos^4x} =$

$=-\sin x - \dfrac{-2\cos x\cdot(-\sin x)}{\cos^4x} =-\sin x - \dfrac{2\sin x}{\cos^3x}$

Находим третью производную:

$f'''(x)=\left(-\sin x - \dfrac{2\sin x}{\cos^3x}\right)'=(-\sin x )'-\left( \dfrac{2\sin x}{\cos^3x}\right)'=$

$=-\cos x - \dfrac{(2\sin x)'\cdot \cos^3x-2\sin x\cdot(\cos^3x)'}{(\cos^3x)^2}=$

$=-\cos x - \dfrac{2\cos x\cdot \cos^3x-2\sin x\cdot3\cos^2x\cdot(\cos x)'}{\cos^6x}=$

$=-\cos x - \dfrac{2\cos^4x-6\sin x\cos^2x\cdot(-\sin x)}{\cos^6x}=$

$=-\cos x - \dfrac{2\cos^4x+6\sin^2x\cos^2x}{\cos^6x}=-\cos x - \dfrac{2\cos^2x+6\sin^2x}{\cos^4x}=$

$=-\cos x - \dfrac{2\cos^2x+2\sin^2x+4\sin^2x}{\cos^4x}=\boxed{-\cos x - \dfrac{2+4\sin^2x}{\cos^4x}}$