Доказать, что когда α, β и γ углы треугольника, то sin(α + β) = sin γ
Ответы
Пояснення:sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Також ми знаємо, що сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусам:
α + β + γ = 180°
Або можна записати як:
α + β = 180° - γ
Тоді ми можемо замінити α + β в формулі синуса суми кутів:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(180° - γ) = sin α cos β + cos α sin β
Також ми знаємо, що синус комплементарного кута дорівнює синусу самого кута:
sin(180° - γ) = sin γ
Тому ми можемо замінити sin(180° - γ) на sin γ:
sin γ = sin α cos β + cos α sin β
Ми можемо застосувати формулу для синуса косинуса кута:
cos(90° - α) = sin α
Тоді ми можемо переписати формулу:
sin γ = sin α cos β + cos α sin β
sin γ = cos(90° - α) cos β + sin(90° - α) sin β
Також ми можемо застосувати формулу для косинуса суми кутів:
cos(90° - α) = cos 90° cos α + sin 90° sin α
cos(90° - α) = sin α
Тоді ми можемо замінити cos(90° - α) на sin α:
sin γ = sin α cos β + sin α sin β
sin γ = sin α (cos β + sin β)
Або ж ми можемо використати формулу синуса кута:
sin γ = 2 sin((α + β) / 2) cos((α - β) / 2)
Так як α + β + γ = 180°, то α + β = 180° - γ. Підставимо це значення в формулу:
sin γ = 2 sin((180° - γ) / 2) cos((180° - 2β - γ) / 2)
sin γ = 2 sin((180° - γ) / 2) cos((γ - 2β) / 2)
sin γ = 2 cos((β - 90° + γ / 2)) cos((γ - 2β) / 2)
sin γ = 2 cos((γ / 2 - α)) cos((γ / 2 - β))
sin γ = 2 sin α sin β
Тому ми маємо:
sin α cos β + cos α sin β = sin γ = 2 sin α sin β
Після спр