Question

Допоможіть! Даю 60 балів!
АВСD прямокутник , точки Е і F середини сторін BC та CD відповідно. Виразіть вектор АF через вектори АЕ і AD

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$

Объяснение:

АВСD прямоугольник, точки Е и F середины сторон BC и CD соответственно. Выразить вектор AF через векторы AE и AD.

Вспомним сложение векторов по правилу треугольника.

• Для сложения двух векторов a и в по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Проведем диагональ АС.

Воспользуемся правилом сложения векторов.

1. ΔАЕС.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}$

По условию ВЕ = ЕС.

• Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ ЕС = 1/2 AD

Получим:

$\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{ AD }$        (1)

2. ΔACD.

$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} \\\\\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$

Подставим вместо вектора АС его выражение (1):

$\displaystyle \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}-\frac{1}{2} \overrightarrow{AD} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$

3. ΔACF.

$\displaystyle \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}$     (2)

По условию CF = FD

⇒   $\displaystyle \overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$     (3)

Подставим в равенство (2) соответствующие выражения (1) и (3):

$\displaystyle \bf \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$

#SPJ1