448. Пряма перетинає сторони AB i BC трикутника ABC у точках М і К відповідно. Вершини даного трикутника рівновіддалені від прямої МК. Доведіть, що точки М i К є серединами сторін AB і ВС відповідно. ОЧЕНЬ СРОЧНО ДАЮ 40 БАЛЛОВ
Ответы
Ответ:
Оскільки точки М і К лежать на прямій, що перетинає сторони AB i BC трикутника ABC, то вони ділять ці сторони на дві рівні частини, а саме AM = MB та BK = KC.
Також за умовою задачі, вершини трикутника рівновіддалені від прямої МК. Позначимо цю відстань як h.
Розглянемо сторону AB трикутника ABC. Оскільки точка М є серединою сторони AB, то можна записати, що AM = MB. З іншого боку, відповідно до властивостей паралелограма, h є висотою трикутника ABC, проведеною на сторону AB. Отже, можна записати наступну рівність площ трикутників ABC та AMK:
S_ABC = 2S_AMK,
де S_ABC та S_AMK - площі трикутників ABC та AMK відповідно.
Аналогічно розглядаємо сторону BC. Оскільки точка К є серединою сторони BC, то можна записати, що BK = KC. З іншого боку, h є висотою трикутника ABC, проведеною на сторону BC. Отже, можна записати наступну рівність площ трикутників ABC та BCK:
S_ABC = 2S_BCK,
де S_ABC та S_BCK - площі трикутників ABC та BCK відповідно.
Звідси маємо:
2S_AMK = S_ABC = 2S_BCK.
Але S_AMK = S_BCK, оскільки ці трикутники мають спільну основу МК та рівні висоти. Отже, 2S_AMK = 2S_BCK, звідки випливає, що S_AMK = S_BCK = S_ABC/2.
Отже, точки М та К ділять сторони AB та BC трикутника ABC відповідно навпіл, тобто є їх серединами.
Ответ:
Объяснение:
Позначимо середину сторони AВ як D, а середину сторони BC як $E$. Тоді, оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то AD=BD і CE=BE.
Розглянемо трикутник MBC. За теоремою про перерізаний кут, маємо \angle BKM = \angle BMC. Але BM=MC (оскільки M - точка перетину бісектриси кута B зі стороною AC), тому трикутник BKM також рівнобедрений, тобто BK=KM.
Аналогічно, розглядаючи трикутник MAC, отримуємо AM=MD.
Таким чином, маємо AD=MD і BK=KM, тобто точки M і К є серединами відповідних сторін трикутника ABC.