Question

Срочно!! Розв'яжіть систему рівнянь
$x + y - \frac{x}{y} = 0 \: \\ (x + y) \times \frac{x}{y} = 25$
​

Answer 1

$\begin{cases} x + y - \dfrac{x}{y} = 0 \\ (x + y) \cdot\dfrac{x}{y} = 25 \end{cases}$

Можно заметить, что данная система зависит от суммы $(x+y)$ и дроби $\dfrac{x}{y}$. Можно выполнить замену, но можно замену и не выполнять.

Из первого уравнения выразим дробь:

$\dfrac{x}{y} = x + y$

Подставим во второе уравнение:

$(x + y) \cdot(x + y) = 25$

$(x + y) ^2= 25$

$\left[\begin{array}{l} x + y= 5\\ x + y= -5\end{array}\right.$

Рассмотрим первый случай:

$x + y= 5$

Ранее было установлена, что сумма равна дроби. Значит:

$\dfrac{x}{y} =5$

Выразим "х":

$x=5y$

Подставим в соотношение для суммы:

$5y+y=5$

$6y=5$

$y_1=\dfrac{5}{6}$

$\Rightarrow x_1=5y_1=5\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{6}$

Рассмотрим второй случай:

$x + y= -5$

По аналогии, используя равенство суммы и дроби, запишем:

$\dfrac{x}{y} =-5$

Выразим "х":

$x=-5y$

Подставим в соотношение для суммы:

$-5y+y=-5$

$-4y=-5$

$y_2=\dfrac{5}{4}$

$\Rightarrow x_2=-5y_2=-5\cdot\dfrac{5}{4}=-\dfrac{25}{4}$

Ответ: (25/6; 5/6); (-25/4; 5/4)