С подробным решением
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите площадь вписанной сферы
Ответы
Пусть вершина пирамиды расположена в точке O, а основание пирамиды - четырехугольник ABCD со стороной а. Так как угол при основании равен 60 градусам, то ABCD является равнобедренной трапецией с основаниями AB и CD и боковыми сторонами BC и AD.
Пусть M и N - середины боковых сторон BC и AD соответственно. Тогда OM и ON являются высотами пирамиды, а OMN является равносторонним треугольником со стороной a.
Рассмотрим вписанную сферу, описанную около треугольника OMN. Радиус этой сферы равен высоте OMN, которая равна a√3/2. Таким образом, радиус вписанной сферы равен a√3/2.
Чтобы найти площадь вписанной сферы, воспользуемся формулой для площади сферы:
S = 4πr^2
где r - радиус сферы.
Таким образом, площадь вписанной сферы равна:
S = 4π(a√3/2)^2 = 3πa^2
Ответ: площадь вписанной сферы равна 3πa^2.