Question

Помогите решить пример ( Обчисліть визначений інтеграл )

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf 3)\; \int\limits^1_0 {(2x-1)^2} \, dx=\frac{1}{3}$

$\displaystyle \bf 4)\;\int\limits^4_1 {\left(\frac{2}{\sqrt{x} }+\frac{1}{x^2}\right) } \, dx=4\frac{3}{4}$

Объяснение:

Вычислить интеграл:

$\displaystyle \bf 3)\; \int\limits^1_0 {(2x-1)^2} \, dx$

$\displaystyle \bf 4)\;\int\limits^4_1 {\left(\frac{2}{\sqrt{x} }+\frac{1}{x^2}\right) } \, dx$

• Интеграл степенной функции:
• $\displaystyle \bf \int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
• Формула Ньютона- Лейбница:
• $\displaystyle\bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)$

$\displaystyle 3)\; \int\limits^1_0 {(2x-1)^2} \, dx = \int\limits^1_0 {(4x^2-4x+1)} \, dx =\\\\=\left(4\cdot \frac{x^3}{3}-4\cdot \frac{x^2}{2}+x\right)\bigg|^1_0= \left( \frac{4x^3}{3}-2x^2+x\right)\bigg|^1_0=\\\\=\frac{4\cdot 1}{3}-2\cdot1 +1-0=1\frac{1}{3} -1=\frac{1}{3}$

$\displaystyle 4)\;\int\limits^4_1 {\left(\frac{2}{\sqrt{x} }+\frac{1}{x^2}\right) } \, dx=\int\limits^4_1 {(2x^{-\frac{1}{2} }+x^{-2})} \, dx =\\\\=\left(2\cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1 }}{-\frac{1}{2}+1 } +\frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right)\bigg|^4_1=\left(2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2} }\cdot2}{1} -x^{-1}\right)\bigg|^4_1=\\\\=\left(4\sqrt{x} -\frac{1}{x}\right) \bigg|^4_1=4\cdot \sqrt{4}-\frac{1}{4}-4\sqrt{1}+\frac{1}{1}=\\ \\ =8-\frac{1}{4} -3 =4\frac{3}{4}$