Question

Знайдіть висоту прямокутного трикутника, якщо її основа ділить гіпоткнузу на відрізки 3см і 12 см​

Answer 1

Нехай прямокутний трикутник має катети a і b, а гіпотенуза c.

За теоремою Піфагора маємо:

c^2 = a^2 + b^2

Відомо, що основа ділить гіпотенузу на дві частини довжинами 3 см та 12 см. Позначимо довжини цих відрізків через m та n, відповідно. Тоді маємо:

m + n = c

З іншого боку, з подібності прямокутних трикутників, відомо, що висота h, проведена до гіпотенузи, розділяє її на дві частини довжинами, які пропорційні до катетів. Тобто:

m/a = b/h

n/a = h/b

Звідси:

mn/(ab) = h^2/(a*b)

h^2 = mnc^2/(a*b)

h = sqrt(mnc^2/(a*b))

Підставляючи дані з умови, отримаємо:

h = sqrt(312c^2/(ab)) = sqrt(36c^2/(ab)) = 6c/sqrt(a*b)

Отже, висота прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза ділиться на відрізки довжинами 3 см та 12 см, дорівнює 6c/sqrt(a*b).