Периметр основи правильної трикутної піраміди SABC дорівнює 18 см. Усі бічні ребра піраміди нахилені до основи під кутом 60°. Знайдіть об’єм піраміди SABC. У відповідь запишіть частку числового значення V/√3.
Ответы
Ответ:
Формула объема правильной треугольной пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды от вершины до основания.
Для начала найдем площадь основания S. Поскольку периметр основания пирамиды равен 18 см, а сторон треугольника равно 3 (три стороны), то сторона треугольника равна 6 см.
Площадь равностороннего треугольника (S) вычисляется по формуле:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a - длина стороны треугольника.
Таким образом,
S = (6^2 * √3) / 4 = (36 * √3) / 4 = 9√3 см².
Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (h). Для этого нарисуем высоту треугольника ABC и получим прямоугольный треугольник. Высота будет одной из катетов, угол между основанием и высотой - 60°, а гипотенуза - одно из боковых ребер пирамиды (это равносторонний треугольник, так как все боковые ребра нахилены под углом 60° к основанию).
Таким образом, высота прямоугольного треугольника и высота пирамиды равны:
h = a * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3 см.
Теперь, чтобы найти объем пирамиды, используем формулу:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 9√3 * 3√3 = 9√3 * √3 = 9 * 3 = 27 см³.
В ответе нужно записать частное числового значения V и √3:
V/√3 = 27 / √3.