ТЕРМІНОВО!!! ДАЮ 100 БАЛІВ.
Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи кут 60 градусів. Діагональ утвореного перерізу дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом 45 градусів. Знайдіть об'єм циліндра.
Ответы
Ответ:
pi * R^3 * sqrt(2)
Объяснение:
Позначимо радіус основи циліндра як R. За властивостями кола, можна знайти довжину його дуги, яку відтинає площина на основі:
(sqrt - це знак коріня )
l = R * (60 градусів) * (2 * pi / 360 градусів) = R * pi / 3
Також, за теоремою Піфагора, можна знайти діагональ перерізу:
b^2 = (2R)^2 + (2R/sqrt(2))^2 = 8R^2
b = 2R * sqrt(2)
За формулою для об'єму циліндра V = S * h, де S - площа основи, а h - висота циліндра, можна знайти об'єм циліндра:
V = (pi * R^2) * h
Відомо, що діагональ перерізу b утворена з основою циліндра під кутом 60 градусів і площина перерізу нахилена під кутом 45 градусів до основи. Тому площа перерізу складається з двох рівносторонніх трикутників зі стороною b/2 та кутом 60 градусів між ними, і прямокутного трикутника зі сторонами b/2 та b/2/sqrt(2) та кутом 45 градусів між ними. Отже,
S = 2 * (1/2 * (b/2)^2 * sqrt(3)) + 1/2 * (b/2)^2 = b^2 * (sqrt(3) + 1) / 8 = R^2 * 2 * (3 + 2*sqrt(2))
За умовою, діагональ перерізу дорівнює b, яку ми вже знайшли, нахилена до площини основи під кутом 45 градусів, тому h = (b/2) / cos(45 градусів) = b / sqrt(2)
Отже, об'єм циліндра:
V = (pi * R^2) * h = (pi/2) * R^2 * b = (pi/2) * R^2 * 2R * sqrt(2) = pi * R^3 * sqrt(2)
Таким чином, об'єм циліндра дорівнює pi * R^3 * sqrt(2).