Question

Найти точки разрыва функции и исследовать их характер, построить эскиз графика в окрестности точки разрыва
y =2x+3/x2-1 y=x+4/x+4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Первая функция: y = (2x+3)/(x^2-1)

Найдем точки разрыва функции:

Функция не определена в точках x = 1 и x = -1 (корни знаменателя). Эти точки являются точками разрыва.

Теперь исследуем характер разрывов:

В точке x = 1 имеем вертикальный разрыв. Это связано с тем, что функция имеет бесконечное значение в этой точке. При x → 1 слева от этой точки функция стремится к бесконечности отрицательной, а справа от нее – к бесконечности положительной.

В точке x = -1 также имеем вертикальный разрыв. При x → -1 слева от этой точки функция стремится к бесконечности положительной, а справа от нее – к бесконечности отрицательной.

Для построения эскиза графика в окрестности точек разрыва можно воспользоваться таблицей значений функции:

x -1.1 -1.01 -0.9 -0.5 0.5 0.9 1.01 1.1

y 1.79 1.15 -2.2 -5.2 5.2 2.2 -1.15 -1.79

На графике можно увидеть, что в окрестности точки x = -1 функция имеет резкий скачок, а в окрестности точки x = 1 – разрыв первого рода. В целом, график функции напоминает гиперболу, с асимптотами x = -1 и x = 1.

<img src="https://i.imgur.com/vQdcjKv.png" alt="График функции y = (2x+3)/(x^2-1)" width="500"/>

Вторая функция: y = (x+4)/(x+4)

Найдем точки разрыва функции:

Функция не определена в точке x = -4 (знаменатель равен нулю). Эта точка является точкой разрыва.

Теперь исследуем характер разрыва:

В точке x = -4 имеем устранимый разрыв. Это связано с тем, что функция принимает значение 1/0, что можно переписать как бесконечность. Но это бесконечность устранима, так как можно сократить (x + 4) в числителе и знаменателе.

Для построения эскиза графика в