Question

Помогите пожалуйста решить 1 задачу по геометрии! 100 баллов

Answer 1

Позначимо центр вписаного кола трикутника АВС через О. Оскільки сфера дотикається до площини трикутника, то вона дотикається до сторін трикутника у точках дотику до вписаного кола, які є серединними перпендикулярами до сторін трикутника. Оскільки радіус сфери дорівнює 1.5, то відстань від центра сфери до точки дотику на стороні трикутника дорівнює 1.5.

Застосуємо формулу для обчислення радіуса вписаного кола трикутника за довжинами його сторін:
$$ r = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}, $$
де a, b, c - довжини сторін трикутника, а p - півпериметр (півсума довжин сторін):
$$ p = \frac{a + b + c}{2}. $$

Підставляючи значення сторін трикутника, отримуємо:
$$ p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6, $$
$$ r = \sqrt{\frac{(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)}{6}} = 1.5. $$

Отже, радіус вписаного кола дорівнює 1.5, що означає, що сфера дотикається до сторін трикутника у точках, що віддалені на 1.5 від вершин трикутника.

Для знаходження відстані від центра сфери до вершин трикутника скористаємося теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного відрізками між центром сфери та точками дотику до сторін трикутника:
$$ AC = \sqrt{AO^2 - OC^2} = \sqrt{(1.5)^2 - 1^2} = \sqrt{2.25 - 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}, $$
$$ AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{(1.5)^2 - 2.25^2} = \sqrt{1.5} = \sqrt{\frac{3}{2}}, $$