Question

алгебра...............​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

6)За визначенням первісної, якщо F(x) - первісна для f(x), то F(x) + C - загальне рішення рівняння f(x) = F'(x). Тут C – довільна постійна.

Щоб знайти первісну для функції $f(x) = 6x + 2x - 1, потрібно знайти функцію F(x) таку, що F'(x) = f(x). Для цього проінтегруємо вираз для f(x):

$F(x) = \int\limits {f(x)} \, dx = \int\limits {(6x + 2x - 1) } \, dx =3x^{2} +x - x + C = 3x^{2} + C$

де C - довільна стала.

Тепер, щоб знайти значення C, використовуємо умову, що графік проходить через точку M(1,5):

$F(1)=3*1^{2}+C=3+C=5.$

Звідси знаходимо C = 2, і остаточно отримуємо первісну:

$F(x)=3x^{2} +2.$

7) Спочатку знайдемо точки перетину ліній:

$y = x^{2} = > x^{2} = 3x = > x(x - 3) = 0 = > x_{1}= 0, x_{2} = 3$

Таким чином, точки перетину - це (0,0) і (3,9). Щоб знайти площу фігури, необхідно обчислити відповідний інтеграл:

​$S=\int\limits^3_0 {(3x - x^{2})} \, dx = \int\limits^3_0 {x(3 - x)} \, dx = [\frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ]\frac{3}{0} = \frac{27}{9} - 9 = \frac{9}{2}$

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y=x^2 і y=3x, дорівнює $\frac{9}{2}$

8) 1) Можемо скористатись тригонометричним тотожністю:

cos(2α) = cos²α - sin²α

Тоді:

f(x) = cos²3x - sin²3x

f(x) = cos(2·3x)

f(x) = cos(6x)

Отже, загальний вигляд первісної для функції f(x) = cos²3x - sin²3x дорівнює sin(6x)/6 + C, де C - довільна константа.

8) 2) Для того, щоб знайти первісну для цієї функції, потрібно її спочатку привести до вигляду, зручного для інтегрування, а потім застосувати правила інтегрування.

f(x) = (x^4 - 2x^3 + x)/(x^3)

f(x) = (x^4/x^3 - 2x^3/x^3 + x/x^3)

f(x) = (x - 2 + 1/x^2)

Тепер можна знайти первісну для кожного доданку окремо:

∫x dx = 1/2 x^2 + C1

∫-2 dx = -2x + C2

∫1/x^2 dx = -1/x + C3

Де C1, C2 та C3 – довільні постійні інтегрування.

Отже, загальний вигляд первісної для f(x) буде:

F(x) = 1/2 x^2 - 2x - 1/x + C, где C - довільні постійні.