Question

Допоможіть будь ласка! Вища математика. Дослідити на абсолютну і умовну збіжність числові ряди. Детально на прикріпленому фото.
- Потрібне покрокове рішення. В кінці написати результат: збіжний чи розбіжний в залежності від результату.
- Спам, або комменти не по темі = бан.

Answer 1

Пояснення:

1.

$\displaystyle\\\sum\limits_{n=1}^\infty(\frac{n}{2n+1} )^{6n}=\sum\limits_{n=1}^\infty((\frac{n}{2n+1} )^{n})^6.$

Застосуємо радикальну ознаку Коші:

$\displaystyle\\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{n}{2n+1})^{6n} } = \lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{2n+1}) } ^\frac{6n}{n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n(2+\frac{1}{n}) })^6 = \\\\= \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2+\frac{1}{n} })^6 = (\frac{1}{2+0 })^6 =(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64} < 1.$

Відповідь: ряд збіжний, оскільки отримали k=1/64<1.

2.  

$\displaystyle\\\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3n+1}{5^n} .$

Застосуємо ознаку Даламбера:    

$\displaystyle\\ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3(n+1)+1)}{5^{n+1}} }{\frac{3n+1}{5^n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n+3+1}{5*5^n} }{\frac{3n+1}{5^n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{5*(3n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{15n+5} =\\\\= \lim_{n \to \infty} \frac{n*(3+\frac{4}{n} )}{n*(15+\frac{5}{n}) } = \lim_{n \to \infty} \frac{3+\frac{4}{n} }{15+\frac{5}{n} } =\frac{3+0}{15+0}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5} < 1.$

 Відповідь: ряд збіжний, оскільки отримали k=1/5<1.