Question

Дротяною сіткою завдовжки 600м потрібно огородити ділянку землі прямокутної форми. При яких розмірах ділянки її площа буде найбльшою?

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання задачі потрібно визначити оптимальні розміри прямокутника, при яких його площа буде максимальною. Позначимо сторони прямокутника через x та y, тоді з умови задачі маємо:

Периметр прямокутника дорівнює довжині дротяної сітки: 2x + 2y = 600.

Площа прямокутника дорівнює xy.

Вирішимо систему з двох рівнянь за допомогою методу підстановок:

З одного з рівнянь виразимо одну зі сторін прямокутника, наприклад, y = 300 - x.

Підставимо вираз для y в друге рівняння та отримаємо квадратне рівняння з однією невідомою: S = x(300 - x) = -x^2 + 300x.

Для знаходження максимальної площі прямокутника знайдемо від'ємний коефіцієнт при квадраті x, тоді вершиною параболи буде точка, в якій знаходиться максимум функції. Це можна зробити за допомогою формули для знаходження координат вершини параболи: x = -b/2a.

Отже, в нашому випадку a = -1, b = 300, тоді x = -300/(2*-1) = 150. Оскільки ширина прямокутника не може бути більшою за 300 м (бо периметр становить 600 м), то відповідь: довжина прямокутника - 150 м, ширина - 300 м.