Question

Розв’язати рівняння: 2log_3⁡х=2 log_х⁡ 3+3

Answer 1

Ми можемо почати з використання наступних логарифмічних тотожностей:

• $log_a b^c = c log_a b$
• $log_a b + log_a c = log_a (b*c)$
• $log_a b - log_a c = log_a (b/c)$

Використовуючи ці тотожності, ми можемо спростити ліву частину рівняння:

$2 log_3 x = log_3 x^2$

І ми можемо спростити праву частину рівняння:

$2 log_x 3 + 3 = log_x 3^2 + log_x 8= log_x (3^2 * 8) = log_x 72$

Тепер ми можемо підставити ці спрощені вирази у вихідне рівняння:

$log_3 x^2 = log_x 72$

Щоб знайти x, ми можемо використати формулу зміни базису:

$log_x 72 = log_3 72 / log_3 x$

Тож ми це зробили:

$log_3 x^2 = log_3 72 / log_3 x$

Помноживши обидві сторони на $log_3 x$, отримаємо:

$log_3 x^3 = log_3 72$

Використовуючи той факт, що логарифмічні функції відносяться один до одного, ми можемо прирівняти аргументи і знайти значення x:

$x^3 = 72 \\x = 4$

Отже, розв'язком рівняння буде x = 4.