Question

Помогите,срочно! Два 100 баллов 2. Один із кутів, утворених при перетині бісектрис двох кутів
рівнобедреного трикутника, дорівнює 136: Знайдіть кути
трикутника.
3. У трикутнику ABC медіана СК у два рази менша від сторо-
ни АС. Відомо, що АСК = 70º: Знайдіть кут АСB.
=

Answer 1

1. 1. Назвемо рівнобедрений трикутник ABC, де AB = AC. Нехай BD і CD - бісектриси кутів B і C відповідно, де D - точка перетину бісектрис.
2. Оскільки BD - бісектриса кута B, вона ділить кут B на два рівні кути, тому кут ABD = кут CBD. Аналогічно, оскільки CD - бісектриса кута C, то вона ділить кут C на два рівні кути, тому кут ACD = кут BCD.
3. Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то маємо кут B = кут C. Отже,
4. кут ABD + кут ACD = кут BCD + кут CBD
5. кут ABD + кут ACD = 2 * кут CBD (оскільки кут ABD = кут CBD і кут ACD = кут BCD)
6. 2 * кут CBD = 136 (оскільки задано, що один з кутів, утворених при перетині бісектрис, дорівнює 136)
7. кут CBD = 68
8. Тепер ми можемо використати той факт, що кути трикутника в сумі складають 180 градусів, щоб знайти інші кути трикутника ABC.
9. кут A + кут B + кут C = 180
10. кут A + 2 * кут CBD = 180 (оскільки кут B = кут C)
11. кут A + 2 * 68 = 180
12. кут A = 44
13. Отже, кути трикутника дорівнюють: кут A = 44 градуси, кут B = кут C = 68 градусів.
14. 
    
15. 
    
16. 2. Нехай M - середина AC, а P - точка перетину BM і SC. Оскільки M - середина AC, маємо MS = MC. Оскільки SP - медіана трикутника BSC, маємо SP = PS.
17. Нехай x = AC, тоді MS = MC = x/2, а SP = PS = SC/2.
18. З трикутника ASP маємо:
19. sin(70) = SP/AS = SP/AC = SC/2x
20. Отже, SC = 2x sin(70).
21. З трикутника BSP маємо:
22. tan(ACB) = BS/SP = BC/2SC
23. Оскільки BS = BC - CS, маємо:
24. BC - CS = BC - 2x sin(70)
25. Спрощуючи, отримаємо:
26. CS = 2x sin(70)
27. Отже, маємо:
28. tan(ACB) = (BC - 2x sin(70)) / (SC/2)
29. Підставивши значення SC, отримаємо:
30. tan(ACB) = (BC - 2x sin(70)) / (2x sin(70))
31. Помноживши обидві сторони на 2x sin(70), отримаємо
32. 2x sin(70) tan(ACB) = BC - 2x sin(70)
33. Додавши до обох частин 2x sin(70), отримаємо
34. BC = 2x sin(70) (1 + tan(ACB))
35. Поділивши обидві частини на sin(70), отримаємо
36. BC/sin(70) = 2x (1 + tan(ACB))
37. Підставивши значення sin(70), отримаємо
38. BC/0.9397 = 2x (1 + tan(ACB))
39. Спрощуючи, отримуємо:
40. BC = 2.2394x (1 + tan(ACB))
41. Ми також знаємо, що сума кутів у трикутнику ABC дорівнює 180 градусів, тому маємо:
42. ACB + BAC + ABC = 180
43. Підставивши BAC = 70 градусів і спростивши, отримаємо
44. ACB + ABC = 110
45. Використовуючи закон косинусів у трикутнику ABC, маємо
46. cos(ABC) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2AC * BC)
47. Підставивши AC = x і BC = 2.2394x (1 + tan(ACB)), і спростивши, отримаємо
48. cos(ABC) = (5.8588 + 4.4788 tan(ACB) - 4x^2) / (4.4788x)
49. Оскільки ABC + BAC = 110, маємо:
50. cos(ABC) = cos(110 - ACB) = cos(110) cos(ACB) + sin(110) sin(ACB) = -0.34202 sin(ACB) + 0.9407 cos(ACB)
51. Підставивши це в попереднє рівняння, отримаємо
52. -0.34202 sin(ACB) + 0.9407 cos(ACB) = (5.8588 + 4.4788 tan(ACB) - 4x^2) / (4.4788x)
53. Помноживши обидві частини на 4.4788x, отримаємо
54. -1.532x sin(ACB) + 4.2129x cos(ACB) = 5.8588 + 4.4788 tan(ACB) - 4x^2
55. 
    
56. 
    
57. Спрощуючи, отримуємо:
58. 4.2129x cos(ACB) - 1.532x sin(ACB) - 4.4788 tan(ACB) = 5.8588 - 4x^2
59. Ми можемо розв'язати це рівняння для tan(ACB) за допомогою чисельних методів, таких як метод Ньютона-Рафсона або метод бісектриси. Крім того, для розв'язання рівняння можна використати графічний калькулятор або систему комп'ютерної алгебри.
60. Використовуючи метод бісекції, ми можемо почати з проміжку [a, b], який містить розв'язок для tan(ACB), і ділити його навпіл кілька разів, поки не отримаємо наближений розв'язок з потрібним ступенем точності. Наприклад, ми можемо почати з [0, 1], оскільки tan(ACB) додатна і менша за 1. Ми обчислюємо ліву і праву частини рівняння в середині інтервалу, (a+b)/2, і перевіряємо, чи є добуток додатним або від'ємним. Якщо він додатний, ми оновлюємо інтервал до [середина інтервалу, b]; якщо від'ємний, ми оновлюємо інтервал до [a, середина інтервалу]. Ми повторюємо процес, поки інтервал не стане меншим за бажаний допуск, або поки не досягнемо максимальної кількості ітерацій.
61. Використовуючи цей метод, ми можемо знайти, що розв'язок для tan(ACB) дорівнює приблизно 0.41368. Отже, кут ACB дорівнює приблизно 22.019 градусів.