Question

Знайдіть кут між стороною АВ і медіаною ВВ1 трикутника АВС, якщо А(3; 5; 0), В(0; – 6; 0), С(3; 1; 0).

Answer 1

Медіана ВВ1 ділить сторону АВ навпіл і має напрямок на середину С, тому ми можемо знайти точку B1(1.5, -2.5, 0), яка є серединою відрізка AV1, де V1 - точка перетину медіани ВВ1 зі стороною СВ.

Точка V1 має координати:
V1 = (1/2) * (B + B1) = (1/2) * (0, -6, 0) + (1/2) * (3, 2, 0) = (3/2, -2, 0)

Тепер можемо знайти вектори AB, BV1 та їхнє скалярний добуток:

AB = B - A = (0, -6, 0) - (3, 5, 0) = (-3, -11, 0)
BV1 = V1 - B = (3/2, -2, 0) - (0, -6, 0) = (3/2, 4, 0)

AB · BV1 = (-3, -11, 0) · (3/2, 4, 0) = (-9/2) - 44 = -53/2

Так як медіана ВВ1 ділить сторону АВ навпіл, то кут між стороною АВ та медіаною ВВ1 дорівнює куту між векторами AB та BV1, тому використаємо формулу для скалярного добутку векторів:

cos(θ) = (AB · BV1) / (|AB| * |BV1|)
|AB| = sqrt((-3)^2 + (-11)^2) = sqrt(130)
|BV1| = sqrt((3/2)^2 + 4^2) = sqrt(25/4)

cos(θ) = (-53/2) / (sqrt(130) * sqrt(25/4)) = -53 / (2 * sqrt(130))

Отже, кут між стороною АВ та медіаною ВВ1 дорівнює arccos(-53 / (2 * sqrt(130))), або близько 166.8 градусів.