12. Угол между сторонами треугольника би с равен 30°. Если третья сторона треугольника равна 16 и между его сторонами справедливо равенство с² = b² + 16b + 256, то найдите сторону с A) 16V/3B) 12√2 C) 12√3 D) 16√2
Ответы
Ответ:
Давайте назовем третью сторону треугольника "а".
Используя закон косинусов, мы имеем:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(30°)
Мы знаем, что c ^ 2 = b ^ 2 + 16b + 256, поэтому мы можем заменить и упростить:
b^2 + 16b + 256 = a^2 + b^2 - 2ab cos(30°)
16b + 256 = a^2 - 2ab cos(30°)
a^2 - 2ab cos(30°) - 16b - 256 = 0
Мы можем решить для "a", используя квадратичную формулу:
a = [2b cos(30°) ± √(4b^2 cos^2(30°) + 4(16b + 256))] / 2
a = [b ± √(4b^2 + 192)] / 2
a = [b ± 4√(b^2 + 48)] / 2
a = b ± 2√(b^2 + 48)
Поскольку "a" - это длина стороны треугольника, она должна быть положительной. Следовательно, мы берем положительный квадратный корень:
a = b + 2√(b^2 + 48)
Мы знаем, что длина третьей стороны равна 16, поэтому мы можем заменить:
b + 2√(b^2 + 48) = 16
2√(b^2 + 48) = 16 - b
Возведя в квадрат обе стороны, мы получим:
4(b^2 + 48) = (16 - b)^2
4b^2 + 192 = 256 - 32b + b^2
3b^2 + 32b - 64 = 0
Решение для "b" с использованием квадратичной формулы:
б = [-32 ± √(32^2 - 4(3)(-64))] / (2*3)
b = [-32 ± √1408] / 6
b ≈ -7,24 или b ≈ 1,74
Поскольку "b" - это длина стороны треугольника, она должна быть положительной. Поэтому мы принимаем положительное решение:
b ≈ 1,74
Наконец, мы можем найти "а", используя формулу, которую мы вывели ранее:
a = b + 2√(b^2 + 48)
a ≈ 12√3
Следовательно, длина стороны треугольника равна приблизительно 12√3, что соответствует выбору ответа (C).