пусть m=√6-√7 докажите что значение выражения 1/m²+m² является целым числом
Ответы
Для того, щоб довести, що вираз 1/m² + m² є цілим числом, потрібно спробувати скористатися ідентичністю квадратів суми і різниці двох чисел:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Тоді:
1/m² + m² = (1/m + m)² - 2
Ми можемо знайти значення виразу 1/m + m, раціоналізувавши знаменник:
1/m + m = (1/m + m) * (m - √6 + √7) / (m - √6 + √7)
= (1 - m(√6 - √7)) / (-1)
= m(√7 - √6) + 1
Тепер, підставляючи значення m, отримаємо:
1/m² + m² = (m(√7 - √6) + 1)² - 2
= (6 - 2√42 + 7 + 2m(√42 - 1) + m²) - 2
= 11 + m² + 2m(√42 - 1) - 2
= 9 + m² + 2m(√42 - 1)
Залишається довести, що вираз 9 + m² + 2m(√42 - 1) є цілим числом. Оскільки m = √6 - √7, то:
m² = 6 - 2√42 + 7 = 13 - 2√42
Тоді:
9 + m² + 2m(√42 - 1) = 9 + (13 - 2√42) + 2(√6 - √7)(√42 - 1)
= 22 - 2√42 + 2(√6√42 - √7√42 - √6 + √7)
= 22 - 2√42 + 2(√6√42 - √42)
= 22 - 2√42 + 2√42 - 4
= 16
Отже, ми довели, що вираз 1/m² + m² є цілим числом і його значення дорівнює 16.