1. Найдите периметр треугольника с площадью 7√2 см² и углом 45°, если стороны, прилежащие к данному углу, относятся как 4:7.
Ответы
Пусть a и b — катеты треугольника, α (Альфа) — угол между ними, S — площадь треугольника, а С — гипотенуза.
Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S = (a * b * sin(α)) / 2
Теорема косинусов гласит:
c² = a² + b² − 2ab cos(α)
Зная формулы для вычисления площади и гипотенузы треугольника, а также отношение длин двух сторон катетов, мы можем найти периметр треугольника.
Из условия задачи мы знаем, что угол α = 45°, площадь S = 7√2 см², а отношение длин катетов a и b равно 4:7. Обозначим длины сторон через a и b, тогда:
S = (a * b * sin(α)) / 2
7√2 = (4x * 7x * sin(45°)) / 2
7√2 = 14x² * sin(45°)
7√2 = 14x² * √2 / 2
7 = 7x²
x² = 1
x = 1 или x = -1 (отрицательное значение не подходит)
Так как x — это отношение длин сторон, то мы можем сделать вывод, что a = 4 см, а b = 7 см.
Далее, найдем гипотенузу c:
c² = a² + b² − 2ab cos(α)
c² = 4² + 7² − 2 * 4 * 7 * cos(45°)
c² = 16 + 49 − 56 * √2 / 2
c² = 65 − 28 * √2
c ≈ 5,25 см
И, наконец, найдем периметр треугольника:
P = a + b + c
P = 4 + 7 + 5,25
P ≈ 16,25 см
Ответ: периметр треугольника равен примерно 16,25 см.