Question

№27 стр 76 решите уравнение
$x^2 + 2 = 4\sqrt{x^3 +1}$

Answer 1

Ответ:

$4+2\sqrt{3}\pm\sqrt{34+20\sqrt{3}}$

Пошаговое объяснение:

Отметим для начала, что должно выполняться условие $x^3+1\geq 0\Leftrightarrow x^3\geq-1\Leftrightarrow x\geq-1$.

Заметим, что $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, а $x^2+2=(x+1)+(x^2-x+1)$.

Соответственно, разделив обе части на $x+1$, получим (подстановкой x=-1 получаем, что он не является корнем исходного уравнения; при этом $x+1 > -1+1=0$) равносильное уравнение:

$1+\dfrac{x^2-x+1}{x+1}=4\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x+1}}$

Это квадратное уравнение относительно $\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x+1}}$.

Тогда

$\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x+1}}=\dfrac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt{3}$

Обе части равенств неотрицательны, возведем в квадрат:

$\dfrac{x^2-x+1}{x+1}=7\pm 4\sqrt{3}$

Домножим на $x+1\neq 0$ :

$x^2-x+1=(7\pm 4\sqrt{3})(x+1)\\ x^2-(8\pm 4\sqrt{3})x-(6\pm 4\sqrt{3})=0$

1. Случай плюсов:

$x=\dfrac{8+4\sqrt{3}\pm\sqrt{(8+4\sqrt{3})^2+4(6+ 4\sqrt{3})}}{2}=\\ =\dfrac{8+4\sqrt{3}\pm\sqrt{64+64\sqrt{3}+48+24+16\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{8+4\sqrt{3}\pm\sqrt{136+80\sqrt{3}}}{2}=\\ =4+2\sqrt{3}\pm\sqrt{34+20\sqrt{3}}$

Корень с плюсом, очевидно, неотрицательный, а значит и в ОДЗ попадает.
Проверим корень с минусом, сравнив его с -1:

$4+2\sqrt{3}-\sqrt{34+20\sqrt{3}}-(-1)=5+2\sqrt{3}-\sqrt{34+20\sqrt{3}}=\\ =\sqrt{37+20\sqrt{3}}-\sqrt{34+20\sqrt{3}} > 0$

Значит $4+2\sqrt{3}-\sqrt{34+20\sqrt{3}} > -1$ и попадает в ОДЗ.
Оба значения являются корнями исходного уравнения.

2. Случай минусов:

Дискриминант

$(8-4\sqrt{3})^2+4(6- 4\sqrt{3})=4\cdot(16-16\sqrt{3}+12+6- 4\sqrt{3})=\\ =4\cdot(34-20\sqrt{3})=8\cdot(17-10\sqrt{3})=8\cdot(\sqrt{289}-\sqrt{300}) < 0$

Здесь корней нет.