Question

У трикутник ABC вписано коло з центром О. Через точку О до площини трикутника
проведено перпендикуляр FO. Точка F віддалена від сторони трикутника АВ на 5 см.
Знайдуть довжину вiдрiзка FO, якщо AB=15 см, АС=12 см, BC=9 см.

Answer 1

Ответ:

FO = 4 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС, АВ = 15 см, АС = 12 см, ВС = 9 см;

О - центр вписанной в ΔАВС окружности.

FO⊥(АВС);  d(F; AB) = 5 см.

Найти: FO.

Решение:

Проверим, не является ли ΔАВС прямоугольным:

15² = 12² + 9²

225 = 144 + 81

225 = 225 - верно, значит по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔАВС прямоугольный с гипотенузой АВ.

Проведем ОН⊥АВ. ОН - радиус окружности, вписанной в треугольник.

ОН - проекция наклонной FH на плоскость (АВС), значит

FH⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

FH - расстояние от точки F до прямой АВ.

FH = 5 см.

• Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен разности полупериметра и гипотенузы:
• r = p - c

$r=\dfrac{AB+AC+BC}{2}-AB=\dfrac{15+12+9}{2}-15=18-15=3$

ОН = r = 3 см

Из прямоугольного треугольника FOH по теореме Пифагора:

$FO=\sqrt{FH^2-OH^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

FO = 4 см