Question

РЕШИТЕ ПЖ ЭТУ ЗАДАЧУ

Answer 1

Ответ:

-7π/4 ; -5π/4

Пошаговое объяснение:

Найдите корни уравнения 4cos²x(cos²x-1) = -1 , принадлежащие промежутку [-2π;-π].

Решим уравнение:

$4 \cos {}^{2} x( \cos ^{2} x - 1) = - 1$

Расскроем скобки и перенесем единицу:

$4 \cos {}^{4} x - 4 \cos {}^{2} x + 1 = 0$

Пусть cos²x = t :

$4t {}^{2} - 4t + 1 = 0 \\ \\ (2t - 1) {}^{2} = 0 \\ \\ 2t - 1 = 0 \\ \\ 2t = 1 \\ \\ t = \frac{1}{2}$

Обратная замена:

$\displaystyle \cos {}^{2} x = \frac{1}{2}$

По формуле понижения степени cos²x = (1+cos2α)/2 заменим:

$\displaystyle\frac{1 + \cos2x}{2} = \frac{1}{2} \bigg |\cdot 2 \\ \\ 1 + \cos2x = 1 \\ \\ \cos2x = 0 \\ \\ 2x = \frac{ \pi}{2} + \pi n \bigg | :2 \\ \\ x = \frac{ \pi}{4} + \frac{ \pi n}{2} ,n\in Z$

Сделаем отбор корней с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle- 2 \pi \leqslant \frac{\pi}{4} + \frac{ \pi n}{2} \leqslant - \pi \\ \\ - 2\pi - \frac{ \pi}{4} \leqslant \frac{\pi n}{2} \leqslant - \pi - \frac{\pi}{4} \\ \\ - \frac{9\pi}{4} \leqslant \frac{\pi n}{2} \leqslant - \frac{5\pi}{4} \\ \\ - \frac{9\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} \leqslant n \leqslant - \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} \\ \\ - 4.5 \leqslant n \leqslant - 2.5$

Если n∈Z , то для нас подходит n = -4 ; -3.

Подставим эти числа вместо n:

$\displaystyle \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot( - 4)}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{4\pi}{2} = - \frac{7\pi}{4} \\ \\ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot( - 3)}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = - \frac{5\pi}{4}$