Question

При каких значениях а уравнение x²-3ах + 2a+5=0 не имеет корней?

Answer 1

Уравнение x^2 - 3ax + 2a + 5 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения неотрицательный. Дискриминант уравнения определяется выражением:

b^2 - 4ac, где b = -3a и c = 2a + 5

Чтобы дискриминант был неотрицательным, мы должны иметь:

(-3а)^2 - 4 * (2а + 5) >= 0

Развернув квадрат и упростив выражение, получим:

9а^2 - 8а - 20 >= 0

Это квадратное неравенство, и мы можем решить его, разложив на множители выражение в левой части:

(3а - 5)(3а + 4) >= 0

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений a таких, что:

3a - 5 <= 0 и 3a + 4 >= 0, или

3а - 5 >= 0 и 3а + 4 <= 0

Решая а, получаем:

-5/3 <= а <= 4/3

Итак, уравнение x^2 - 3ax + 2a + 5 = 0 не имеет корней при значениях a вне этого диапазона.

Другими словами, уравнение не имеет действительных корней, когда дискриминант отрицателен, т. е. когда:

9а^2 - 8а - 20 < 0

что эквивалентно:

-5/3 > а или а > 4/3.