Question

Обчислити інтеграл...

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{\boxed{ \int\limits^{\dfrac{\pi }{3} }_{\dfrac{\pi }{4}} {\frac{dx}{\sin^{2} x} } =1 - \frac{\sqrt{3} }{3}}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\int {\frac{dx}{\sin^{2} x}} =-\text{ctg} \ x+C }$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int\limits^a_b \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int\limits^a_b {f_{i}(x)} \, dx}$

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{\dfrac{\pi }{3} }_{\dfrac{\pi }{4}} {\frac{dx}{\sin^{2} x} } = - \text{ctg}\ x \Bigg |_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} = - \bigg (\text{ctg}\ \frac{\pi }{3}- \text{ctg}\ \frac{\pi }{4} \bigg ) =\text{ctg}\ \frac{\pi }{4} - \text{ctg}\ \frac{\pi }{3} = 1 - \frac{\sqrt{3} }{3}$